Question

已知正方形的邊長為2，分別是邊的中點(diǎn)．
（1）在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，求滿足的概率；
（2）從這八個點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個點(diǎn)，記這兩個點(diǎn)之間的距離為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）首先判斷這是一個幾何概型，然后找出符合條件的區(qū)域與總區(qū)域的面積，利用面積之比即可算出相應(yīng)的古典概型的概率；（2）先確定這八個點(diǎn)連線距離的幾種情況，然后就不同的的值進(jìn)行計(jì)算，利用離散型隨機(jī)變量的計(jì)算方法列表并計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望。
試題解析：（1）這是一個幾何概型．所有點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形的內(nèi)部，其面積是．
1分
滿足的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形的內(nèi)部（即四分之一個圓）與兩個直角邊為1的等腰直角三角形（△和△）內(nèi)部構(gòu)成．                        2分

其面積是．      3分
所以滿足的概率為．       4分
（2）從這八個點(diǎn)中，任意選取兩個點(diǎn)，共可構(gòu)成條不同的線段．
5分
其中長度為1的線段有8條，長度為的線段有4條，長度為2的線段有6條，長度為的線段有8條，長度為的線段有2條．
所以所有可能的取值為．                    7分
且，        ，        ，
，      ．                9分
所以隨機(jī)變量的分布列為：
10分
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為
．          12分