Question

(1)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,試問圓錐的底面半徑   為多少時(shí),圓錐的體積最大?

(2)圓錐內(nèi)有一半球,球面與圓錐側(cè)面相切,半球的底面在圓錐的底面上,已知半球半徑為r,圓錐的母線與底面所成的角為θ,求當(dāng)圓錐的體積V_圓錐=f(θ)最小時(shí),圓錐的高h(yuǎn)的值.

Answer 1

解析:(1)設(shè)母線與底面所成的角為θ,則底面半徑為cosθ,高h(yuǎn)=sinθ.

∴圓錐的體積V=πcos²θsinθ=cos²θsinθ,

記μ=cos²θsinθ,

則μ²=cos⁴θsin²θ

=［cos²θ·cos²θ·(2sin²θ)］

≤()³=,

∴μ≤(當(dāng)且僅當(dāng)cos²θ=2sin²θ時(shí),取“=”).

∴V≤π,即V的最大值為π,

當(dāng)V最大時(shí),cos²θ=2sin²θ,

∴cosθ=,即圓錐的底面半徑為.

另解:設(shè)底面半徑為r,高為h,則r²+h²=1,圓錐的體積為V=πr²h,

∴V²=r⁴h²=(r²·r²·2h²)≤.

()³=,即V≤(當(dāng)且僅當(dāng)r²=2h²,即r=時(shí),取“=”).

(2)下圖是圓錐及其內(nèi)切半球的軸截面,則圓錐的底面半徑為R=,圓錐的高h(yuǎn)=.

∴f(θ)=πR²h=πr³·.

由(1)的結(jié)論可知:當(dāng)cosθ=時(shí),sin²θcosθ取得最大值,從而f(θ)取得最小值,

即當(dāng)h=r時(shí),f(θ)取得最小值.