Question

已知兩點(diǎn)F1(-

2

，0)、F2(

2

，0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

|×|

.

PF2

|=2．
（I）求曲線C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），對(duì)定點(diǎn)A（0，-1），是否存在實(shí)數(shù)m，使直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，滿足|AM|=|AN|？若存在，求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）用坐標(biāo)表示向量，利用曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2，建立方程，化簡(jiǎn)可求曲線C的方程；
（II）法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及k_AP•k=-1，結(jié)合判別式可得結(jié)論；
法二：利用點(diǎn)差法，結(jié)合點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，P（x，y）
∴

.

PF1

=(-

2

-x，-y).

.

PF2

=(

2

-x，-y)
∵曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

.

PF1

•

.

PF2

+|

.

PF1

||

.

PF2

|=2
∴x2-2+y2+

(- 2 -x)2+y2

•

( 2 -x)2+y2

=2
化簡(jiǎn)可得

x2

3

+y2=1
∴所求曲線的方程為

x2

3

+y2=1；                                  
（II）法一：設(shè)M（x1，y1），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
聯(lián)立方程組得，

y=kx+m x2 3 +y2=1

，∴（3k²+1）x²+6mkx+3m²-3=0               
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得m²＜3k²+1，①
且x0=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

，
又k_AP•k=-1，∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即m=

1+3k2

2

，②
①②聯(lián)立，可得m∈(

1

2

，2)．
法二：點(diǎn)差得k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

3y0

，又k_AP•k=-1?

y0+1

x0

=-

1

k

，故x0=-

3

2

k，y0=

1

2

．
點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，得k²∈（0，1），m=y0-kx0=

1

2

+

3

2

k2∈(

1

2

，2)

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．