【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)f(x)的最小值為g(a),求證: .
【答案】
(1)解:由已知可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),
而 ,
∵a>0,x>﹣1,∴當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,
當(dāng) 時(shí),f'(x)>0,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ,單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)解:由(1)可知,f(x)的最小值
為 ,a>0.
要證明 ,
只須證明 成立.
設(shè) ,x∈(0,+∞).
則 ,
∴φ(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),∴φ(x)>φ(0)=0,即 .
取 得到 成立.
設(shè)ψ(x)=ln(x+1)﹣x,x∈(0,+∞),同理可證ln(x+1)<x.
取 得到 成立.因此,
【解析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案;(2)由(1)可知,f(x)的最小值為 ,a>0,構(gòu)造函數(shù)設(shè) ,x∈(0,+∞),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要建造一個(gè)容積為1 600立方米,深為4米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池,池壁的造價(jià)為每平方米200元,池底的造價(jià)為每平方米100元.
(1)把總造價(jià)y元表示為池底的一邊長(zhǎng)x米的函數(shù);
(2)由于場(chǎng)地原因,蓄水池的一邊長(zhǎng)不能超過(guò)20米,問(wèn)蓄水池的這個(gè)底邊長(zhǎng)為多少時(shí)總造價(jià)最低?總造價(jià)最低是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1過(guò)點(diǎn)A(0,1),l2過(guò)點(diǎn)B(5,0),如果l1∥l2,且l1與l2間的距離為5,求l1、l2的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C:x2+y2-2x-4y+m=0
(1)當(dāng)m為何值時(shí),曲線C表示圓;
(2)若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點(diǎn),且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(Ⅰ)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若圓的方程為 (θ為參數(shù)),直線的方程為 (t為參數(shù)),則直線與圓的位置關(guān)系是( )
A.相交過(guò)圓心
B.相交而不過(guò)圓心
C.相切
D.相離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】水培植物需要一種植物專用營(yíng)養(yǎng)液,已知每投放(且)個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,它在水中釋放的濃度 (克/升)隨著時(shí)間 (天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時(shí)刻水中的營(yíng)養(yǎng)液濃度為每次投放的營(yíng)養(yǎng)液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中營(yíng)養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能有效.
(1)若只投放一次2個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,則有效時(shí)間最多可能達(dá)到幾天?
(2)若先投放2個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,3天后再投放個(gè)單位的營(yíng)養(yǎng)液,要使接下來(lái)的2天中,營(yíng)養(yǎng)液能夠持續(xù)有效,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì):該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)已知,利用上述性質(zhì),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)和函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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