Question

17．設(shè)拋物線y²=16x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且2$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{PA}$，則|AF|+2|BF|=15．

Answer 1

分析 根據(jù)向量關(guān)系，用坐標(biāo)進(jìn)行表示，求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的定義，可求|AF|+2|BF|．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（1，0），
∴$\overrightarrow{BP}$=（1-x₂，-y₂），$\overrightarrow{PA}$=（x₁-1，y₁），
∵2$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{PA}$，
∴2（1-x₂，-y₂）=（x₁-1，y₁），
∴x₁+2x₂=3，-2y₂=y₁，
將A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入拋物線y²=16x，可得y₁²=16x₁，y₂²=16x₂，
又∵-2y₂=y₁，∴4x₂=x₁，
又∵x₁+2x₂=3，
解得x₂=$\frac{1}{2}$，x₁=2，
∵|AF|+2|BF|=x₁+4+2（x₂+4）=2+4+2（$\frac{1}{2}$+4）=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查拋物線的定義，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)．