3.在三棱錐ABCD中,BC⊥CD,Rt△BCD斜邊上的高為1,三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB,若該外接球的表面積為16π,則三棱錐ABCD體積的最大值為( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.1D.$\frac{4}{3}$

分析 當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí),以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體,此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球,其直徑為AB,由已知得當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$時(shí),AC=2$\sqrt{3}$,此時(shí)三棱錐ABCD體積為V=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.由此排除A,B,C選項(xiàng).

解答 解:當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí),以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體,
此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球,其直徑為AB,
∵該外接球的表面積為16π,∴AB=4,
設(shè)BC=a,CD=b,∵在三棱錐ABCD中,BC⊥CD,Rt△BCD斜邊上的高為1,
∴BD=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$,
設(shè)Rt△BCD斜邊上的高為CE,則CE=1,
由$\frac{1}{2}×BD×CE=\frac{1}{2}BC×DC$,得BD=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=ab,
∵a>0,b>0,∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=ab≥$\sqrt{2ab}$,即ab≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$時(shí),取等號(hào),
∴當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$時(shí),$\frac{\sqrt{A{C}^{2}+{a}^{2}+^{2}}}{2}$=2,解得AC=2$\sqrt{3}$,
此時(shí)三棱錐ABCD體積為V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
由此排除A,B,C選項(xiàng),
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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