Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²，方程f²（x）+tf（x）+1=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• B． （-$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，作出f（x）的函數(shù)圖象，得出f（x）=m的根的分別情況，從而得出關(guān)于m的方程的根的分別區(qū)間，列不等式解出t．

解答 解：f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
∴當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極大值f（0）=0，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值f（1）=-$\frac{1}{2}$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)f（x）=m，由圖象可知：
當(dāng)m＜-$\frac{1}{2}$或m＞0時(shí)，方程f（x）=m只有1解，
當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$或m=0時(shí)，方程f（x）=m有2解，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜m＜0時(shí)，方程f（x）=m有3解，
∵程f²（x）+tf（x）+1=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴關(guān)于m的方程m²+tm+1=0在（-∞，-$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{2}$，0）上各有1個(gè)零點(diǎn)．
∴$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$t+1＜0，
解得：t＞$\frac{5}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．