Question

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)500 克的產(chǎn)品數(shù)量；
（Ⅱ）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)頻率分步直方圖中所給的小矩形的長(zhǎng)寬，做出小矩形的面積，得到這個(gè)范圍中的頻率，乘以樣本容量得到結(jié)果．
（II）由題意知Y的所有可能取值為0，1，2；重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是40×（0.05×5+0.01×5），重量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是28件，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出概率和分布列，得到期望值．

解答：解：（I）根據(jù)頻率分步直方圖中所給的小矩形的長(zhǎng)寬，做出小矩形的面積，得到這個(gè)范圍中的頻率，
重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是40×（0.07×5+0.05×5+0.01×5）=26件；
（Ⅱ）由題意知Y的所有可能取值為0，1，2；
重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
重量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是28件．
P(Y=0)=

C 2 28

C 2 40

=

63

130

，P(Y=1)=

C 1 12 C 1 28

C 2 40

=

56

130

，P(Y=1)=

C 2 12

C 2 40

=

11

130

，
∴Y的分布列為

Y	0	1	2
P	63 130	56 130	11 130

∴Y的期望為EY=0×

63

130

+1×

56

130

+2×

11

130

=

39

65

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分步直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出每一個(gè)范圍里的頻數(shù)，才能利用它來(lái)求概率．