Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線y2=2

5

x的焦點(diǎn)，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(1，

3

)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求實(shí)數(shù)k值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)是(

5

2

，0)，知雙曲線的c=

5

2

，由此能求出求雙曲線C的方程．
（2）聯(lián)立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0，當(dāng)△＞0時(shí)，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2），由書達(dá)定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，由此能求出實(shí)數(shù)k值．

解答：解（1）拋物線的焦點(diǎn)是(

5

2

，0)，
則雙曲線的c=

5

2

…（1分）
點(diǎn)在雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1上，則有

1

a2

-

3

b2

=1…（2分）
解得：a2=

1

4

，b2=1⇒方程為：4x2-y2=1…（5分）
（2）聯(lián)立方程：

y=kx+1 4x2-y2=1

⇒(4-k2)x2-2kx-2=0
當(dāng)△＞0時(shí)，得-2

2

＜k＜2

2

（且k≠±2）…（7分）（未寫△扣1分）
由書達(dá)定理：x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

…（8分）
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

OA

⊥

OB

，x1x2+y1y2=0
即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入，
可得：k2=2，k=±

2

，
檢驗(yàn)合格．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．