Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=3，a₄=12，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即得結(jié)論；
（Ⅱ）利用分組求和法，有等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得
d=

a4-a1

3

=

12-3

3

=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…），
設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，則
q³=

b4-a4

b1-a1

=

20-12

4-3

=8，∴q=2，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1，
∴b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∵數(shù)列{a_n}的前n項和為

3

2

n（n+1），數(shù)列{2^n-1}的前n項和為1×

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為

3

2

n（n+1）+2ⁿ-1．

點評：本題主要考查學(xué)生對等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本的運算能力，屬基礎(chǔ)題．