Question

4．拋物線y²=2px（p＞0）有一內(nèi)接正三角形，且三角形的一個頂點在原點，則這個正三角形的邊長為4$\sqrt{3}$p，正三角形的面積為12$\sqrt{3}$p²，中心坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$a，0）．

Answer 1

分析 設(shè)另外兩個頂點的坐標(biāo)分別為（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）、（ a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），代入拋物線方程可得$\frac{{a}^{2}}{3}$=2pa，解得a=6p，可得正三角形的邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=4$\sqrt{3}$p，由此求得這個正三角形的面積，中心坐標(biāo)．

解答 解：由題意可得，正三角形的另外兩個頂點關(guān)于x軸對稱，設(shè)另外兩個頂點的坐標(biāo)分別為（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）、（ a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
把頂點（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a） 代入拋物線方程可得$\frac{{a}^{2}}{3}$=2pa，解得a=6p，
故正三角形的邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=4$\sqrt{3}$p，
故這個正三角形的面積是$\frac{1}{2}•4\sqrt{3}p•4\sqrt{3}p•$•sin60°=12$\sqrt{3}$p²，
中心坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$a，0）．
故答案為：4$\sqrt{3}$p；12$\sqrt{3}$p²；（$\frac{2}{3}$a，0）．

點評 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．