Question

已知數(shù)列中，，且，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，．
⑴求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
⑶若，令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析
（2）
（3）

⑴當(dāng)時(shí)，，
化簡得，
又由，可推知對(duì)一切正整數(shù)均有，
∴數(shù)列是等比數(shù)列．            ---------------- 4分
⑵由⑴知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，  ∴．
當(dāng)時(shí)，，又，
∴              ----------8分
⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

，
又，
∴
，
當(dāng)時(shí)，

．
若，則等式為，不是整數(shù)，不符合題意．
若，則等式為，
是整數(shù)，∴是5的因數(shù)．
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是整數(shù)， ∴
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使等式成立．