Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+2，
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，（x≥1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{2}$）遞減，在[$\sqrt{2}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，+∞）的值域是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的意義，是一道基礎(chǔ)題．