Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調性，并用單調函數(shù)的定義證明；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：1）直接由函數(shù)單調性的定義加以證明；
（2）由奇函數(shù)的性質得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函數(shù)的定義證明a=1時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

解答： （1）證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2•2x1+2-2•2x2-2

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）解：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=a-1=0，
∴a=1．
當a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=-f（x），
此時f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，
∴a=1．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了利用定義證明函數(shù)的單調性，是中檔題．