Question

15．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定義域?yàn)镽，命題q：不等式$\sqrt{3x+1}$＜1+ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，如果命題p∨q為真，p∧q為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，2]

Answer 1

分析 由二次函數(shù)和不等式的性質(zhì)分別可得p真和q真時(shí)的a的取值范圍，再由建議邏輯可得得p真q假，或p假q真，由集合的運(yùn)算可得．

解答 解：p為真等價(jià)于ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)不合題意，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2；
q為真等價(jià)于a＞$\frac{\sqrt{3x+1}-1}{x}$=$\frac{3}{1+\sqrt{3x+1}}$對(duì)一切x＞0恒成立，
又 $\sqrt{3x+1}$+1＞2，∴$\frac{3}{1+\sqrt{3x+1}}$＜$\frac{3}{2}$，∴a≥$\frac{3}{2}$，
又命題p∨q為真，p∧q為假可得p真q假，或p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，綜合可得$\frac{3}{2}$≤a≤2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假，涉及恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．