【題目】已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，，，則，

由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點坐標(biāo)，再驗證直線斜率不存在時，直線也過這個定點即可．

解：（1）由題意得，，，

則，所以，

又，所以，，所以橢圓E的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，，，則，

由，消去y得.由，

得，所以，.

，

直線的方程為，

即，

因為，，所以，

直線的方程為可化為，則直線恒過定點.

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點.直線的斜率為，求證：.

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【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：

已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.

（1）求保險公司在該業(yè)務(wù)所或利潤的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責(zé)職工保費的70%，職工個人負責(zé)保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.

請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中， 邊上的中線長為3，且， .

（1）求的值；

（2）求及外接圓的面積.

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【題目】已知函數(shù)，其中，，則下列選項中的條件使得僅有一個零點的有（ ）

A.為奇函數(shù)B.

C.，D.，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如下圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”.

（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)；

短潛伏者

長潛伏者

合計

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計

300

（3）研究發(fā)現(xiàn)，某藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分層選取7位60歲以下的患者做Ⅰ期臨床試驗，再從選取的7人中隨機抽取兩人做Ⅱ期臨床試驗，求兩人中恰有1人為“長潛伏者”的概率.

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目．為預(yù)估今年7月份游客購買水果的情況，隨機抽樣統(tǒng)計了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：，， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）請用抽樣的數(shù)據(jù)估計今年7月份游客人均購買水果的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）．

（2）若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達人”． 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為“水果達人”與性別有關(guān)系？

水果達人

非水果達人

合計

男

10

女

30

合計

（3）為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎三次，每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折．若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案．

附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.臨界值表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】母線長為，底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球，與圓錐的側(cè)面、底面都相切，現(xiàn)放入一些小球，小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切，這樣的小球最多可放入__________個．

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【題目】如圖，矩形中，，是邊上異于端點的動點，于點，將矩形沿折疊至處，使面面.點分別為的中點.

（1）證明：//面；

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