Question

設(shè)動(dòng)圓M滿(mǎn)足條件p：經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(

1

2

，0)，且與直線(xiàn)l：x=-

1

2

相切；記動(dòng)圓圓心M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M₁為軌跡C上縱坐標(biāo)為m的點(diǎn)，以M₁為圓心滿(mǎn)足條件p的圓與x軸相交于點(diǎn)F、A（A在F的右側(cè)），又直線(xiàn)AM₁與軌跡C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M₁、M₂，當(dāng)OM₁⊥OM₂（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以看出點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以L(fǎng)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．，就可求出對(duì)應(yīng)軌跡C的方程；
（Ⅱ）先求出點(diǎn)M₁和點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)以及直線(xiàn)AM₁的方程，再把直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出關(guān)于點(diǎn)M₁、M₂坐標(biāo)的方程，借助于x₁•x₂+y₁•y₂=0即可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）由題得，點(diǎn)M到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離與到直線(xiàn)x=-

1

2

的距離相等．
所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以L(fǎng)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．
故所求軌跡C的方程為y²=2x．
（Ⅱ）因?yàn)镸₁在拋物線(xiàn)y²=2x
上，所以M₁的坐標(biāo)為（

m2

2

，m），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m²-

1

2

，0），
又點(diǎn)A在點(diǎn)F右側(cè)，所以必有m²＞1，
所以直線(xiàn)AM₁的方程為y=

2m

1-m2

（x-m²+

1

2

）．
設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
由

y2=2x y= 2m 1-m2 (x-m2+ 1 2 )

?

m

1-m2

y²-y+

m(1-2m2)

1-m2

=0，
顯然△＞0，所以y₁+y₂=

1-m2

m

，y₁•y₂=1-2m²．x₁•x₂=

1

4

(y1•y2) 2=

(1-2m2)2

4

，
當(dāng)OM₁⊥OM₂時(shí)，有x₁•x₂+y₁•y₂=0．
即

(1-2m2)2

4

+1-2m²=0．
又m²＞1，∴m²=

5

2

?m=±

10

2

..

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到求軌跡方程問(wèn)題．在求軌跡方程時(shí)，一般都是利用條件找到一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等式，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．