Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)f（x）的性質(zhì)的結(jié)論正確的有①②③④（填序號）
①f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{1}{6}$，0）對稱；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{4}{3}$對稱；
③f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$]上為增函數(shù)；
④把f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個單位長度，得到一個偶函數(shù)的圖象．

Answer 1

分析 由圖象可得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$⇒ω=2，故函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（πx+ϕ），
代入點（$\frac{5}{6}，0）$得2$sin（\frac{5π}{6}+ϕ）=0$，解得解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)判定答案．

解答 解：由圖象可得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$⇒ω=2，
故函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（πx+ϕ），
代入點（$\frac{5}{6}，0）$得2$sin（\frac{5π}{6}+ϕ）=0$，解得解得ϕ=$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
對于①，∵f（-$\frac{1}{6}$）=0，∴f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{1}{6}$，0）對稱，故正確；
對于②，∵f（$\frac{4}{3}$）=-2為最小值，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{4}{3}$對稱，故正確；
對于③，f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）的增區(qū)間為[2k-.$\frac{2}{3}，2k+\frac{1}{3}$]，∴f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$]上為增函數(shù)，故正確；
對于④，把f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=2sin（πx-$\frac{π}{2}$）=-2cosπx是一個偶函數(shù)，故正確．
故答案為：①②③④

點評 本題考查由圖象確定函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式，及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．