Question

【題目】【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

A.[選修4-1：幾何證明選講]

如圖， 分別與圓相切于點(diǎn)， ， 經(jīng)過(guò)圓心，且，求證： .

B.[選修4-2：矩陣與變換]

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)， ， ， ，先將正方形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再將所得圖形的縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半、橫坐標(biāo)不變，求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣.

C.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.現(xiàn)以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程.

D.[選修4-5：不等式選講]

已知為互不相等的正實(shí)數(shù)，求證： .

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】A.根據(jù)題意，可以考慮證明，又由，從而問(wèn)題可得證；B.根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換矩陣、伸縮變換矩陣以及矩陣乘法的定義進(jìn)行運(yùn)算，問(wèn)題可得解；C.根據(jù)題意，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，再由參數(shù)方程經(jīng)過(guò)消參得到一般方程，再由一般方程化為極坐標(biāo)方程即可；D.根據(jù)題意，可考慮使用分析法進(jìn)行證明即可.

試題解析：A.解：易得，

又，

故，

所以.

又，

故.

B.解：設(shè)將正方形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的矩陣為，

則.

設(shè)將所得圖形的縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半，橫坐標(biāo)不變所對(duì)應(yīng)的矩陣為，

則，

所以連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣.

C.解：依題意知（為參數(shù)），

因?yàn)?/span>，

所以，即，

化為極坐標(biāo)方程得，即，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為.

D.證明：因?yàn)?/span>， ，

所以要證，

只要證，

即要證，

只需證，

而，故成立.