Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x-a|（a＞1）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤5；
（2）若f（x）≥5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+2|x-2|，對x分類討論，即可解不等式f（x）≤5；
（2）對x分類討論，求出f（x）的最小值，利用f（x）≥5恒成立，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+2|x-2|．
當(dāng)x＜1時(shí)，-x+1-2x+4≤5，∴x≥0，∴0≤x＜1；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x-1-2x+4≤5，∴x≥-2，∴1≤x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，x-1+2x-4≤5，∴x≤

10

3

，∴2＜x≤

10

3

，
∴不等式的解集為{x|0≤x≤

10

3

}；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x+1-2x+2a=-3x+2a+1＞2a-2；
當(dāng)1≤x≤a時(shí)，f（x）=x-1-2x+2a=-x+2a-1，∴a-1≤f（x）≤2a-2；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x-1+2x-2a=3x-2a-1＞a-1，
∵f（x）≥5恒成立，
∴a-1≥5，
∴a≥6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對值不等式，考查恒成立問題，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．