Question

如圖所示，以AB=4cm，BC=3cm的長方形ABCD為底面的長方體被平面斜著截斷的幾何體，EFGH是它的截面．當AE=5cm，BF=8cm，CG=12cm時，試回答下列問題：
（1）求DH的長；
（2）求這個幾何體的體積；
（3）截面四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過E作EB₁⊥BF，垂足為B₁，通過平面ABFE∥平面DCGH，說明EF∥HG．過H作HC₁⊥CG，垂足為C₁，然后求DH的長；
（2）作ED₁⊥DH，垂足為D₁，B₁P⊥CG，垂足為P，連接D₁P，B₁C₁，則幾何體被分割成一個長方體ABCD-EB₁PD₁，一個斜三棱柱EFB₁-HGC₁，一個直三棱柱EHD₁-B₁C₁P．分別求出體積，即可求這個幾何體的體積；
（3）截面四邊形EFGH是菱形．先說明EFGH是平行四邊形，然后通過計算證明EF=EH．從而證明結(jié)論正確．

解答：解：（1）過E作EB₁⊥BF，垂足為B₁，則BB₁=AE=5（cm），
所以B₁F=8-5=3（cm）．
因為平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它們分別與截面的交線，所以EF∥HG．
過H作HC₁⊥CG，垂足為C₁，
則GC₁=FB₁=3（cm），
DH=12-3=9（cm）．
（2）作ED₁⊥DH，垂足為D₁，B₁P⊥CG，垂足為P，連接D₁P，B₁C₁，則幾何體被分割成一個長方體ABCD-EB₁PD₁，一個斜三棱柱EFB₁-HGC₁，一個直三棱柱EHD₁-B₁C₁P．從而幾何體的體積為
V=3×4×5+

1

2

×3×4×3+

1

2

×3×4×4=102（cm³）．
（3）是菱形．
證明：由（1）知EF∥HG，同理EH∥FG．于是EFGH是平行四邊形．
因為EF=

EB 2 1 +B1F2

=

42+32

=5（cm），
DD₁=AE=5（cm），ED₁=AD=3（cm），
HD₁=4（cm），
所以EH=

ED 2 1 +D1H2

=

32+42

．=5（cm）．
所以EF=EH．
故EFGH是菱形．

點評：本題是中檔題，考查組合體的體積，學生作圖能力，空間想象能力，計算能力，線段的長度、體積的求解、以及證明的思路比較固定，難度不大．