Question

20．變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-2y+2≥0\\ mx-y≤0\end{array}\right.$若2x-y的最大值是2，則約束條件表示的平面區(qū)域面積為（　�。�

• A． $\frac{8}{15}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得m的值

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-2y+2≥0\\ mx-y≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{mx-y=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{2}{2m-1}$，$\frac{2m}{2m-1}$），
化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z，
由圖可知，當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，
z有最大值為$\frac{4}{2m-1}$-$\frac{2m}{2m-1}$=2，
解得：m=1．
A（2，2），B（$-\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
由OA⊥OB，得到平面區(qū)域面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{2}{3}\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．