Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x-3|＞0的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|x-3|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡不等式，利用絕對值的幾何意義求解即可．
（Ⅱ）設(shè)f（x）=|x-a|-|x-3|≤|a-3|，轉(zhuǎn)化不等式為a的不等式，求解即可．

解答 （本大題滿分10分）
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-a|-2．若a=1，
不等式f（x）+|2x-3|＞0，化為：|x-1|+|2x-3|＞2．
當(dāng)x≥$\frac{3}{2}$時，3x＞6．解得x＞2，
當(dāng)x∈（1，$\frac{3}{2}$）時，可得-x+2＞2，不等式無解；
當(dāng)x≤1時，不等式化為：4-3x＞2，解得x$＜\frac{2}{3}$．
不等式的解集為：$（-∞，\frac{2}{3}）∪（2，+∞）$…5
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）＜|x-3|恒成立，可得|x-a|-2＜|x-3|
設(shè)f（x）=|x-a|-|x-3|，
因為|x-a|-|x-3|≤|a-3|，
所以，f（x）_max=|a-3|
即：|a-3|＜2
所以，a的取值范圍為（1，5）…10

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式恒成立，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．