Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)。

（1）求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)。若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義可得到關(guān)于k的方程，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可解出k的值。（2）由題意分析可知將函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題 為方程只有一個(gè)根的問(wèn)題。將整理變形并結(jié)合換元法可轉(zhuǎn)化為，在上只有一個(gè)解的問(wèn)題。因?yàn)榇硕�次函�?shù)對(duì)稱軸是變量，屬于動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題。分情況討論，詳見(jiàn)解析。

試題解析：解:（1）∵ 由題有對(duì)恒成立 …2分

即恒成立，整理得，所以∴

（2）由函數(shù)的定義域得，  由于

所以      即定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042804433626347997/SYS201404280444051384771925_DA.files/image016.png">

∵函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程

在上只有一解。

即：方程在上只有一解

令，則，上式可變形為，在上只有一個(gè)解。

當(dāng)時(shí)，舍。

當(dāng)時(shí)，記，其圖像的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，而。所以方程在上無(wú)解。

當(dāng)時(shí)，記，其圖象的對(duì)稱軸

所以只需，即，此恒成立

∴此時(shí)的范圍為

綜上所述，所求的取值范圍為

考點(diǎn)：奇偶性，數(shù)形結(jié)合思想，二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題