Question

已知函數(shù),.

(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立,求實數(shù)的值；

(3)設(shè)有兩個極值點、(),求實數(shù)的取值范圍,并證明.

 

Answer 1

（1）；（2）；(3) 見解析。

【解析】

試題分析：（1）先求的定義域，然后對求導(dǎo)，令尋找極值點，從而求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，又，則只需恒成立，再證在處取到最小值即可；（3）有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的正根，由此可得的取值范圍，，由根與系數(shù)可知及范圍為，代入上式得，利用導(dǎo)函數(shù)求的最小值即可。

試題解析：（1）的定義域是，.

,故當(dāng)x=1時，G（x）的極小值為0.

（2）令，則，

所以，即恒成立的必要條件是，

又，由得：．

當(dāng)時，由知，

故，即恒成立．

（3）由，得．

有兩個極值點、等價于方程在上有兩個不等的正根，

即：， 解得 ．

由，得，其中.

所以．　　　

設(shè)，得，

所以，即．

考點：（1)利用導(dǎo)求函數(shù)的極值、最值；（2）一元二方程根的分布；（3）構(gòu)造函數(shù)解決與不等式有關(guān)問題。