分析 (1)由Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*).n≥2時(shí)可得:Sn-3Sn-1-2n+2=0,兩式相減得:an+1+1=3(an+1),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)f′(x)=an+2an-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$,可得f′(1)=an+2an-1+…+na1=5×[3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n]-$\frac{n(n+1)}{2}$.令A(yù)n=3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 解:(1)由Sn+1-3Sn-2n-4=0(n∈N*).n≥2時(shí)可得:Sn-3Sn-1-2n+2=0,
兩式相減得:an+1-3an-2=0,可得an+1+1=3(an+1),
又由已知a2=14,∴a2+1=3(a1+1),
即數(shù)列{an+1}是一個(gè)首項(xiàng)為5,公比為3的等比數(shù)列,
∴an=5×3n-1-1.
(2)∵f′(x)=an+2an-1x+…+n${a}_{1}{x}^{n-1}$,
∴f′(1)=an+2an-1+…+na1=(5×3n-1-1)+2(5×3n-2-1)+…+n(5×30-1)
=5×[3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n]-$\frac{n(n+1)}{2}$.
令A(yù)n=3n-1+2×3n-2+…+(n-1)×3+n,
則3An=3n+2×3n-1+…+(n-1)×32+n×3,
∴作差得:2An=3n+3n-1+…+32+3-n=$\frac{3({3}^{n}-1)}{3-1}$-n,
∴An=-$\frac{n}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{4}$,
∴f′(1)=$\frac{5×{3}^{n+1}-15}{4}$-$\frac{n(n+6)}{2}$=bn.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$b${\;}^{\frac{11}{4}}$ | B. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$b${\;}^{\frac{11}{2}}$ | C. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$ | D. | b${\;}^{\frac{11}{4}}$ |
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A. | 4 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 8 | D. | 與m有關(guān) |
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A. | a、b、c成等差數(shù)列 | B. | a、b、c成等比數(shù)列 | ||
C. | △ABC是直角三角形 | D. | △ABC是等腰三角形 |
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