Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x+φ}{2}$）cos（$\frac{x+φ}{2}$）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且對任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{6}$），則（　�。�

• A． f（x）=f（x+π）
• B． f（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）
• C． f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）
• D． f（x）=f（$\frac{π}{6}$-x）

Answer 1

分析 利用二倍角公式化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）得出f（$\frac{π}{6}$）是函數(shù)的最大值，
求出φ的值，得出f（x）解析式，從而判斷出正確的選項．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x+φ}{2}$）cos（$\frac{x+φ}{2}$）=sin（x+φ），
若對任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{6}$），
則f（$\frac{π}{6}$）等于函數(shù)的最大值，
即$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的周期為T=2π，A、B錯誤；
又f（x）的對稱軸是x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，C正確，D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了二倍角公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．