Question

10．設(shè)命題$p：\frac{{2{x^2}}}{x+1}＜1$，命題q：x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p，q的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由命題$p：\frac{{2{x^2}}}{x+1}＜1$，得 $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x+1}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x+1}$＜0，解之得-$\frac{1}{2}$＜x＜1或x＜-1，
由x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0即（x-a）[x-（a-1）]≤0，
解得a-1≤x≤a，
因為￢p是￢q的充分不必要條件，由命題的等價性知，q是p的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞-\frac{1}{2}}\\{a＜1}\end{array}\right.$或a＜-1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＜-1．
則a的取值范圍為：（$\frac{1}{2}$，1）∪（-∞，-1）．

點評 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．