Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.

(1)求證：直線過(guò)某一定點(diǎn)；

(2)當(dāng)直線的斜率為正數(shù)時(shí)，若以為直徑的圓過(guò)，求的內(nèi)切圓與的外接圓的半徑之比.

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)；（2）

【解析】

(1)設(shè)出BD直線方程和B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到關(guān)于縱坐標(biāo)的表達(dá)式，然后求出直線方程，繼而得到定點(diǎn)

(2)求出BD、的直線方程，由點(diǎn)到直線距離相等求出內(nèi)切圓半徑，然后求出的外接圓半徑，得到結(jié)果

(1)設(shè)BD：，

聯(lián)立消x得

∴恒正，

∴即

令，得

∴定點(diǎn)Q

(2)由題=

=

∴即得(舍)

∴BD：

由題，的內(nèi)心必在x軸上，設(shè)內(nèi)心

∴

由I到直線BQ與到直線BD的距離相等得

，∴，內(nèi)心

∴內(nèi)切圓半徑

由對(duì)稱性，的外心應(yīng)在x軸上，設(shè)外心

BD中垂線方程為，得

聯(lián)立得

∴的外接圓半徑

∴