Question

AB是過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x焦點(diǎn)的一條弦，已知AB=20，則直線(xiàn)AB的方程為

x-2y-1=0或x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：由y²=4x，準(zhǔn)線(xiàn)x=-

p

2

=-1，焦點(diǎn)（1，0），設(shè)y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

，由AB=AF+BF，拋物線(xiàn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)距離，知x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，由此能求出直線(xiàn)方程．

解答：解：∵y²=4x，∴2p=4，
所以準(zhǔn)線(xiàn)x=-

p

2

=-1，焦點(diǎn)（1，0），
若直線(xiàn)斜率不存在，則AB是x=1，y²=4，則顯然AB=20不成立，
所以斜率存在．設(shè)y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-2k²x+k²=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
又AB=AF+BF，拋物線(xiàn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)距離，
則A到準(zhǔn)線(xiàn)距離=x₁-（-1）=x₁+1，B到準(zhǔn)線(xiàn)距離=x₂+1，
所以x₁+1+x₂+1=AF+BF=20，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，
解得k=±

1

2

，所以所求的直線(xiàn)方程為x+2y-1=0，或x-2y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程的求法，具體涉及到拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．