Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性并說明理由；

（2）若，求證：關(guān)的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)，即可得出結(jié)論；

（2）將所證不等式變形為，證明出，于是將不等式轉(zhuǎn)化為證明，通過證明出，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明即可.

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，理由如下：

依題意，，則.

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）要證，即證，

即證.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即.

故當(dāng)時(shí)，，

故即證.

令，.

由（1）可知，，

故在上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時(shí)，，即，

所以，當(dāng)時(shí)，，

所以只需證明，即證明.

設(shè)，則.

所以在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立.