已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上的動點,點F2(1,0),線段PF2的垂直平分線l與半徑F1P交于點Q.
(I)當(dāng)點P在圓上運動時,求點Q的軌跡C的方程.
(II)已知點M(1,),A、B在(1)中所求的曲線C上,且(λ∈R,O是坐標(biāo)原點),
(i)求直線AB的斜率;
(ii)求證:當(dāng)△MAB的面積取得最大值時,O是△MAB的重心.
【答案】分析:(I)根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點M坐標(biāo)(-1,0),圓的半徑R=4,再由線段中垂線定理,可得出點Q的軌跡C是橢圓,從而可得出點G的軌跡C對應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,再利用點差法,即可求得直線AB的斜率;
(ii)設(shè)AB的直線方程為y=-,代入橢圓C的方程,求出|AB|及P到直線AB的距離,從而可得△MAB的面積,利用基本不等式求最值,即可證得結(jié)論.
解答:(I)解:根據(jù)題設(shè)有|QP|=|QF2|,|F1P|=4
∴|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|F1P|=4
∵|F1F2|=2<4    
∴根據(jù)橢圓的定義可知,Q的軌跡為以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點中心在原點半長軸為2,半焦距為1,半短軸為的橢圓,其方程為
(II)(i)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
1-x1+1-x2=λ,

由 ,,
兩式相減可得+=0
直線AB的斜率為=;
(ii)證明:設(shè)AB的直線方程為y=-,代入橢圓C的方程,整理得x2-tx+t2-3=0
∴△=3(4-t2)>0,|AB|==
∵P到直線AB的距離d=
∴△MAB的面積為S=
×=
∴S≤,當(dāng)且僅當(dāng)2-t=6+3t,即t=-1時取等號
∴當(dāng)t=-1時,三角形的面積S取得最大值,
根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=t=-1,∴x1+x2=2+λ=-1,∴λ=-3
,
故O是△MAB的重心.
點評:本題借助一個動點的軌跡,得到橢圓的第一定義,進(jìn)而求出其軌跡方程,考查向量知識的運用,考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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請考生注意:重點高中學(xué)生只做(1)、(2)兩問,一般高中學(xué)生只做(1)、(3)兩問.
已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,點F2的坐標(biāo)為(1,0),直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點,且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
),|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|

(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點,若
OP
OQ
=0
(O為坐標(biāo)原點).試求直線l在y軸上截距的取值范圍;
(3)是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點,使得
OP
OQ
=0
(O為坐標(biāo)原點),若存在求出直線l的方程,否則說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上的動點,點F2(1,0),線段PF2的垂直平分線l與半徑F1P交于點Q.
(I)當(dāng)點P在圓上運動時,求點Q的軌跡C的方程.
(II)已知點M(1,
3
2
),A、B在(1)中所求的曲線C上,且
MA
+
MB
OM
(λ∈R,O是坐標(biāo)原點),
(i)求直線AB的斜率;
(ii)求證:當(dāng)△MAB的面積取得最大值時,O是△MAB的重心.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上的動點,點F2(1,0),線段PF2的垂直平分線l與半徑F1P交于點Q.
(I)當(dāng)點P在圓上運動時,求點Q的軌跡C的方程.
(II)已知點M(1,數(shù)學(xué)公式),A、B在(1)中所求的曲線C上,且數(shù)學(xué)公式(λ∈R,O是坐標(biāo)原點),
(i)求直線AB的斜率;
(ii)求證:當(dāng)△MAB的面積取得最大值時,O是△MAB的重心.

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(II)已知點M(1,),A、B在(1)中所求的曲線C上,且(λ∈R,O是坐標(biāo)原點),
(i)求直線AB的斜率;
(ii)求證:當(dāng)△MAB的面積取得最大值時,O是△MAB的重心.

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