Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為平行四邊形，且AD=2，AB=AA₁=3，∠BAD=60°，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直線ED₁與平面EB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BC₁，EF，利用三角形的中位線及線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面EB₁C的法向量

n

，求出向量

ED1

與

n

的夾角，即可得出線面角的正弦值．

解答：解（Ⅰ） 證明：連接BC₁，B₁C∩BC₁=F，連接EF．
∵AE=EB，F(xiàn)B=FC₁，∴EF∥AC₁
∵AC₁?面EB₁C，EF?面EB₁C
∴AC₁∥面EB₁C．
（Ⅱ）作DH⊥AB，分別令DH，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴AH=1，DH=

3

，
∴E(

3

，

1

2

，0)，D₁（0，0，3），C（0，3，0），B1(

3

，2，3)，

ED1

=(-

3

，-

1

2

，3)，

EB1

=(0，

3

2

，3)，

EC

=(-

3

，

5

2

，0)，
設(shè)面EB₁C的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

EB1

=0，

n

•

EC

=0，
化簡得

3 2 y+3z=0 - 3 x+ 5 2 y=0

，令y=1，則

n

=(

5 3

6

，1，-

1

2

)，
設(shè)θ=?

n

，

ED1

＞，則cosθ=

n • ED1

| n |•| ED1 |

=-

9 30

70

設(shè)直線ED₁與面EB₁C所成角為α，則sinα=|cosθ|=

9 30

70

．
所以直線ED₁與面EB₁C所成角的正弦值為

9 30

70

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用斜線與平面法向量的夾角的方法求線面角的正弦值是解題的關(guān)鍵．