選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線L的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cosa
y=sina

(1)求曲線C的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線L的距離的最小值.
分析:(1)把橢圓的參數(shù)方程右邊的系數(shù)都化為1,然后直接平方作和即可得到答案;
(2)設(shè)出與已知直線平行的直線方程,和橢圓聯(lián)立后由判別式等于0解出該直線方程,然后由兩平行線間的距離公式求出曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線x-y+4=0的距離.
解答:解:(1)由曲線C的參數(shù)方程為
x=
3
cosa
y=sina

x
3
=cosa①
y=sina②
,①2+②2得,
x2
3
+y2=1
;
(2)設(shè)與直線L平行的直線為x-y+m=0,
聯(lián)立
x-y+m=0
x2
3
+y2=1
,得4x2+6mx+3m2-3=0,
由△=36m2-16(3m2-3)=-12m2+48=0,得m=±2.
所以當(dāng)m=2時(shí),即直線x-y+2=0與橢圓相切時(shí),橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)到直線x-y+4=0的距離最小,
最小距離為d=
|4-2|
2
=
2
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的參數(shù)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系xoy 的O點(diǎn)為極點(diǎn),Ox為極軸,且長度單位相同,建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos(θ-
π
4
).直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

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A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E,∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D.求證:ED2=EB•EC.
B.選修4-2:矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直線l與曲線C交于點(diǎn).A,B,C,求線段AB的長.
D.選修4-5:不等式選講
對于實(shí)數(shù)x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.

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(2013•遼寧)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ,ρcos(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn),已知直線PQ的參數(shù)方程為
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
(t∈R為參數(shù)),求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-4:
坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系x0y中,曲線C1為x=acosφ,y=sinφ(1<a<6,φ為參數(shù)).
在以0為原點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線C2的方程為ρ=6cosθ,射線ι為θ=α,ι與C1的交點(diǎn)為A,ι與C2除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B.當(dāng)α=0時(shí),|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若過點(diǎn)P(1,0)且斜率為
3
的直線m與曲線C1交于D、E兩點(diǎn),求|PD|與|PE|差的絕對值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•晉中三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線c1的參數(shù)方程為:
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)),把曲線c1上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半得到曲線c2,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為
2
ρcos(θ-
π
4
)=4

(1)求曲線c2的普通方程,并指明曲線類型;
(2)過(1,0)點(diǎn)與l垂直的直線l1與曲線c2相交與A、B兩點(diǎn),求弦AB的長.

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