Question

15．已知函數f（x）=|x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x²-x+m的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）=|x+1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x＞2}\end{array}\right.$，解不等式f（x）≥1可分-1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依題意可得m≤[f（x）-x²+x]_max，設g（x）=f（x）-x²+x，分x≤1、-1＜x＜2、x≥2三類討論，可求得g（x）_max=$\frac{5}{4}$，從而可得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+1|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x＞2}\end{array}\right.$，f（x）≥1，
∴當-1≤x≤2時，2x-1≥1，解得1≤x≤2；
當x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；
綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．
（2）原式等價于存在x∈R使得f（x）-x²+x≥m成立，
即m≤[f（x）-x²+x]_max，設g（x）=f（x）-x²+x．
由（1）知，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+x-3，x≤-1}\\{{-x}^{2}+3x-1，-1＜x＜2}\\{{-x}^{2}+x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
當x≤-1時，g（x）=-x²+x-3，其開口向下，對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}$＞-1，
∴g（x）≤g（-1）=-1-1-3=-5；
當-1＜x＜2時，g（x）=-x²+3x-1，其開口向下，對稱軸方程為x=$\frac{3}{2}$∈（-1，2），
∴g（x）≤g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{2}$-1=$\frac{5}{4}$；
當x≥2時，g（x）=-x²+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}$＜2，
∴g（x）≤g（2）=-4+2+3=1；
綜上，g（x）_max=$\frac{5}{4}$，
∴m的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{4}$]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號是解決問題的關鍵，突出考查分類討論思想與等價轉化思想、函數與方程思想的綜合運用，屬于難題．