【題目】已知橢圓C: 的長軸長為4,焦距為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過動點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長線QM交C于點(diǎn)B.
(i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、,證明為定值.
(ii)求直線AB的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)(i)證明見解析;(ii) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可得,橢圓C的方程為.
(Ⅱ)(i)設(shè),由題意可得,結(jié)合斜率公式可得PM的斜率,QM的斜率,故為定值-3.
(ii)設(shè),直線PA的方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得.則, ,同理,故.結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得當(dāng)且僅當(dāng)時,直線AB的斜率有最小值為.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c,
由題意知,
所以,
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)(i)設(shè),
由,可得,
所以直線PM的斜率,
直線QM的斜率,
此時,所以為定值-3.
(ii)設(shè),
直線PA的方程為,
直線QB的方程為,
聯(lián)立,
整理得.
由可得,
所以,
同理,
所以,
,
所以.
由,可知,
所以,等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得,
此時,即,符合題意,
所以直線AB的斜率的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的一個上界.已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】片森林原來面積為a,計劃每年砍伐森林面積是上一年末森林面積的p%,當(dāng)砍伐到原來面積的一半時,所用時間是10年,已知到今年末為止,森林剩余面積為原來面積的,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原來面積的.
(1)求每年砍伐面積的百分比p%;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)今年以后至多還能再砍伐多少年?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,角α的頂點(diǎn)是原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A,且.將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn),交單位圓于點(diǎn)B.記A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若,求x2;
(Ⅱ)分別過A,B作x軸的垂線,垂足依次為C,D.記△AOC的面積為S1,△BOD的面積為S2.若S1=2S2,求角α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,AB⊥BE,AB=BE=2,AF=1.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求證:AC∥平面DEF;
(Ⅲ)求三棱錐A—DEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,若函數(shù)
(1)若,求的極大值與極小值。
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求的范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列演繹推理寫成三段論的形式.
(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的沸點(diǎn)是100℃,所以在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時,水會沸騰;
(2)一切奇數(shù)都不能被2整除, 是奇數(shù),所以不能被2整除;
(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù), 是三角函數(shù),因此是周期函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)當(dāng),時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;函數(shù)的解析式為 (直接寫出結(jié)果即可);
(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出一個周期的圖象;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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