Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N^*）．若b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1）（n∈N^*），b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后代入b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1），由b₂＞b₁求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍，驗(yàn)證滿足b_n+1=（n-λ）•2ⁿ為增函數(shù)得答案．

解答： 解：由a_n+1=

an

an+2

，得

1

an+1

=

2

an

+1，
則

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
由a₁=1，得

1

a1

+1=2，
∴數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=2n．
由b_n+1=（n-λ）•（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，
b₂=（1-λ）•2=2-2λ，
由b₂＞b₁，得2-2λ＞-λ，得λ＜2，
此時(shí)b_n+1=（n-λ）•2ⁿ為增函數(shù)，滿足題意．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，是中檔題．