Question

14．若三個(gè)非零實(shí)數(shù)：x（y-z）、y（z-x）、z（y-x）成等比數(shù)列，則其公比q=$\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{y（z-x）}{x（y-z）}$=$\frac{z（y-x）}{y（z-x）}$，得$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，由此能求出公比q．

解答 解：∵三個(gè)非零實(shí)數(shù)：x（y-z）、y（z-x）、z（y-x）成等比數(shù)列，
∴$\frac{y（z-x）}{x（y-z）}$=$\frac{z（y-x）}{y（z-x）}$，即$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=$\frac{yz-xz}{yz-xy}$，
又$\frac{yz-xz}{yz-xy}$=$\frac{yz-xy+xy-xz}{yz-xy}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，
$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，
設(shè)$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=q，則q=1+$\frac{1}{q}$，
解得：q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．