Question

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在區(qū)間x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（II）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可確定出函數(shù)的最大值與最小值．

解答：解：（I）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，即2sin（2x-

π

3

）+1∈[2，3]，
則函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．