Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x+2﹣x ．
（1）用定義法證明：函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)；
（2）若x∈[﹣1，2]，求函數(shù)g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)x2＞x1＞0，則：

=

= ，

∵x2＞x1＞0，∴ ， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)

（2）∵x∈[﹣1，2]，∴ ，g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3=（2x）2﹣22x﹣2=（2x﹣1）2﹣3，

當(dāng)2x=1時，g（x）min=﹣3；當(dāng)2x=4時，g（x）max=6．

∴函數(shù)g（x）的值域為[﹣3，6]

【解析】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）已知f（x）得到g（x）=（2x﹣1）2﹣3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．