Question

兩條異面直線a，b所成的角為60°，在直線a，b上分別取點(diǎn)A₁，E和點(diǎn)A，F(xiàn)使AA₁⊥a，且AA₁⊥b（稱AA₁為異面直線a，b的公垂線）．已知A₁E=2，AF=3，EF=5，則線段AA₁的長為

6

或3

2

．

Answer 1

分析：由兩條異面直線a，b所成的角為60°，AA₁⊥a，且AA₁⊥b，A₁E=2，AF=3，EF=5，知

EF

=

EA1

+

A1A

+

AF

，故

EF

2=

EA1

2+

A1A

2+

AF

2+2

EA1

•

A1A

+2

A1A

•

AF

+2

EA 1

•

AF

，由此能求出線段AA₁的長．

解答：解：∵兩條異面直線a，b所成的角為60°，
AA₁⊥a，且AA₁⊥b，A₁E=2，AF=3，EF=5，
∴

EF

=

EA1

+

A1A

+

AF

，
∴

EF

2=

EA1

2+

A1A

2+

AF

2+2

EA1

•

A1A

+2

A1A

•

AF

+2

EA 1

•

AF

，
設(shè)線段AA₁的長x，
∴25=4+x²+9±2×2×3×3×cos60°，
所以x=

6

，或x=3

2

．
故答案為：

6

，或3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)、線、面間距離的計(jì)算，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是忽視符號(hào)導(dǎo)致出錯(cuò)．