【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面,它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成.如圖2,路面寬度,下部支撐箱CDEF為等腰梯形(),且.為了保證承重能力與穩(wěn)定性,需下部支撐箱的面積為,高度為2m且,若路面AB.側(cè)邊CF和DE,底部EF的造價分別為4a千元/m,5a千元/m,6a千元/m(a為正常數(shù)),.
(1)試用θ表示箱梁的總造價y(千元);
(2)試確定cosθ的值,使總造價最低?并求最低總造價.
【答案】(1),,其中;(2)當(dāng)的值為時,總造價最低,為千元.
【解析】
(1)過點F作于點H,由三角函數(shù)及支撐面面積可得,寫出總造價與θ的關(guān)系,并分析函數(shù)定義域;
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,即可得到結(jié)論.
(1)過點F作于點H,則,
所以在中,,.
設(shè),
則由題意得,解得,
所以,
故路面AB的造價為千元,
側(cè)邊CF和DE的造價為千元.
底部EF的造價為,
所以,
又因為,
則,
設(shè)銳角滿足,則.
因此,,,其中.
(2)由(1)知
設(shè),其中,
則.
令,則.
因為.
所以,列表如下:
- | 0 | + | ||||
4 |
所以當(dāng)時,,有.
答:當(dāng)的值為時,總造價最低,為千元.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠加工的零件按箱出廠,每箱有10個零件,在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗,人工檢驗方法如下:先從每箱的零件中隨機抽取4個零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,則停止檢驗;若抽取的零件至少有1個至多有3個次品,則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8,每個零件是否檢驗合格相互獨立,且每個零件的人工檢驗費為2元.
(1)設(shè)1箱零件人工檢驗總費用為元,求的分布列;
(2)除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法,機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗,每個零件的檢驗費為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗,以檢驗總費用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),在人工檢驗與機器檢驗中,應(yīng)該選擇哪一個?說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達(dá)時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達(dá)時間”為18分鐘,F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,是邊長為2的正三角形,為的中點,平面,點在上,,為與的交點,且與平面所成的角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中,用如圖所示的三角形(楊輝三角)解釋了二項和的乘方規(guī)律.右邊的數(shù)字三角形可以看作當(dāng)n依次取0,1,2,3,…時展開式的二項式系數(shù),相鄰兩斜線間各數(shù)的和組成數(shù)列.例:,,,….
(1)寫出數(shù)列的通項公式(結(jié)果用組合數(shù)表示),無需證明;
(2)猜想,與的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,時,恒成立,求正整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與軸的正半軸重合,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)若,是圓上一動點,求點到直線的距離的最小值和最大值;
(2)直線與關(guān)于原點對稱,且直線截曲線的弦長等于,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,平面平面,四邊形為等腰梯形,四邊形為菱形.已知,,.
(1)線段上是否存在一點,使得平面?證明你的結(jié)論.
(2)若線段在平面上的投影長度為,求直線與平面所成角的正弦值.
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