【題目】已知坐標(biāo)平面上的凸四邊形 ABCD 滿足 =(1, ), =(﹣ ,1),則凸四邊形ABCD的面積為; 的取值范圍是 .
【答案】2;[﹣2,0)
【解析】解:∵凸四邊形 ABCD 滿足 =(1, ), =(﹣ ,1),
∴ =0,且AC|=2,BD=2,
∴AC=BD,AC⊥BD,
∴凸四邊形ABCD的面積為 = =2;
設(shè)AC與BD交點為O,OC=x,OD=y,則AO=2﹣x,BO=2﹣y; =( )( )=
=x(x﹣2)+y(y﹣2)=(x﹣1)2+(y﹣1)2﹣2,(0<x,y<2);
∴當(dāng)x=y=1時, =﹣2為最小值,
當(dāng)x→0或1,y→0或1時, 接近最大值0,
∴ 的取值范圍是[﹣2,0).
故答案為:2;[﹣2,0).
根據(jù)向量的模的計算和向量的坐標(biāo)運算得到四邊形ABCD為對角線垂直且相等的四邊形,問題得以解決.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E是棱PD的中點,點F是PC的中點. (Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD為正方形, ,求二面角C﹣AF﹣D大小.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上既是奇函數(shù),又是減函數(shù).
(1)求證:對任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;
(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD的中點.
(1)證明:PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù) f(x)=asinx﹣bcosx(a,b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x= 處取得最小值,則函數(shù)g(x)=f( ﹣x)是( )
A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π,0)對稱
B.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π,0)對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
D.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
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【題目】已知直線l過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截的線段中點M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.
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【題目】設(shè)a,b,c為三個不同的實數(shù),記集合A= ,B= ,若集合A,B中元素個數(shù)都只有一個,則b+c=( )
A.1
B.0
C.﹣1
D.﹣2
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【題目】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)﹣f(﹣x)=2x3 , 當(dāng)x∈(﹣∞,0]時f'(x)<3x2 , 實數(shù)a滿足f(1﹣a)﹣f(a)≥﹣2a3+3a2﹣3a+1,則a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如:他們研究過圖(1)中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,所以將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖(2)中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )
A. 289 B. 1 024
C. 1 225 D. 1 378
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