已知向量
h
=（cosB-cosA），
k
=（a，b），
h
•
k
=
3
5
c，其中a、b、c分別是△ABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)．
（1）求tanA•cotB的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．
分析：（1）利用向量知識(shí)，結(jié)合正弦定理，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）利用差角的正切公式，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵
h
=（cosB-cosA），
k
=（a，b），
h
•
k
=
3
5
c
∴acosB-bcosA=
3
5
c
∴由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=
3
5
sinC=
3
5
sin（A+B）
∴化簡(jiǎn)可得sinAcosB=4sinBcosA
∴tanA•cotB=4；
（2）由（1）知tanA=4tanB
∴tan（A-B）=
tanA-tanB
1+tanAtanB
=
3tanB
1+4tan2B
=
3
4tanB+
1
tanB
≤
3
4
（當(dāng)且僅當(dāng)tanB=
1
2
時(shí)取等號(hào)）
∴tan（A-B）的最大值為
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角公式的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+
π
6
)-2cosx．
（1）當(dāng)x∈[
π
2
，π]時(shí)，若sinx=
4
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）當(dāng)x∈[
π
2
，π]時(shí)，求函數(shù)h(x)=3sin(
π
6
-x)-cos(2x-
π
3
)的值域；
（3）把函數(shù)y=f（x）的圖象按向量
m
平移得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，寫出|
m
|最小的向量
m
的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義非零向量
OM
=(a，b)的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=(a，b)稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設(shè)h（x）=cos（x+
π
6
）-2cos（x+a）（a∈R），求證：h（x）∈S；
（2）求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”模的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)M（a，b）（b≠0）滿足：(a-
3
)2+(b-1)2=1上一點(diǎn)，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設(shè)g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點(diǎn)，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考真題 題型：解答題

定義向量=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S。
（1）設(shè)g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點(diǎn)，向量的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量a=(cos(x+)，1)，b=(cos(x+，)，c=(cos(x+)，0)，f(x)=a·b，g(x)=a·c.

(Ⅰ)要得到了y=f(x)的圖像，只需要把g(x)的圖像經(jīng)過怎樣的變化?

(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)+g(x)，求h(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

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