Question

3．四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2AB，點M，N分別在側(cè)棱PD，PC上，且$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$．
（1）求證：平面AMN⊥平面PCD；
（2）若$\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{NC}$，求平面AMN與平面PAB所成銳角的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一，可得AM⊥PD，證得CD⊥面PAD，可得CD⊥AM，進而可證得AM⊥面PCD，從而得到平面AMN⊥平面PCD；
（2）建立空間直角系，求出兩個平面的法向量，代入向量夾角公式，可得平面AMN與平面PAB所成銳角的二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵$PA=AD，\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$，
∴故M為PD的中點，即AM⊥PD
又∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥面PAD，CD⊥AM
∴AM⊥面PCD
又∵AM?面AMN
∴面AMN⊥面PCD…6
（2）解：如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz又PA=AD=2，

則有P（0，0，2），D（0，2，0），M（0，1，1），C（2，2，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2）．
∵$\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{NC}$，則有N（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
 即$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴設(shè)平面AMN的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ \frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}z=0\end{array}\right.$，令y=1，則$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-1）
而平面PAB的法向量可為$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，難度中檔．