【題目】已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，則稱集合S具有性質(zhì)P，稱為集合S的P子集.

（1）當時，試說明集合S具有性質(zhì)P，并寫出相應(yīng)的P子集；

（2）若集合S具有性質(zhì)P，集合T是集合S的一個P子集，設(shè)，求證：任意，，都有；

（3）求證：對任意正整數(shù)，集合S具有性質(zhì)P.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)新定義,即可求出的P子集;(2)分類討論,根據(jù)定義即可證明,(3)利用數(shù)學歸納法證明即可.

(1)當時，,

令，

則,且對都有

所以S具有性質(zhì)P，相應(yīng)的P子集為，

（2）1.若，由已知，

所以；

2.若，可設(shè)

此時

所以且

所以；

3.若，

則

所以

又因為，

所以

所以

所以

綜上所述：任意，，都有

（3）由（1）可知當時，命題成立，即集合S具有性質(zhì)P

假設(shè)時，命題成立

即且

都有

那么當時，記

并構(gòu)造如下個集合，，

顯然

又因為，

所以

下面證明中任意兩個元素之差不等于中的任意一個元素

1.若兩個元素

則

所以

2.若兩個元素都屬于

由第二問可知，中任意兩個元素之差不等于中的任意元素

從而時命題成立

綜上所述：對任意正整數(shù)，集合S具有性質(zhì)P.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，，，動點滿足：直線與直線的斜率之積恒為，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點位于第一象限，過點，分別作直線，直線，直線，交于點.

①若點的橫坐標為-1，求點的坐標；

②直線與曲線交于點，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在的表格填上數(shù)字，設(shè)在第i行第j列所組成的數(shù)字為，，，則表格中共有5個1的填表方法種數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，如果存在實數(shù)（，且不同時成立），使得對恒成立，則稱函數(shù)為“映像函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“映像函數(shù)”，如果是，請求出相應(yīng)的的值，若不是，請說明理由；

（2）已知函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”，且當時，.求函數(shù)（）的反函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，試構(gòu)造一個數(shù)列，使得當時，，并求時，函數(shù)的解析式，及的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，給出下列四個判斷：

（1）的值域是；

（2）的圖像是軸對稱圖形；

（3）的圖像是中心對稱圖形；

（4）方程有解.

其中正確的判斷有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地政府為了幫助當?shù)剞r(nóng)民脫貧致富,開發(fā)了一種新型水果類食品,該食品生產(chǎn)成本為每件8元.當天生產(chǎn)當天銷售時,銷售價為每件12元,當天未賣出的則只能賣給水果罐頭廠,每件只能賣5元.每天的銷售量與當天的氣溫有關(guān),根據(jù)市場調(diào)查,若氣溫不低于,則銷售5000件;若氣溫位于,則銷售3500件;若氣溫低于,則銷售2000件.為制定今年8月份的生產(chǎn)計劃,統(tǒng)計了前三年8月份的氣溫范圍數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:

氣溫范圍

(單位:)

天數(shù)

4

14

36

21

15

以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.

(1)求今年8月份這種食品一天銷售量(單位:件)的分布列和數(shù)學期望值;

(2)設(shè)8月份一天銷售這種食品的利潤為(單位:元),當8月份這種食品一天生產(chǎn)量(單位:件)為多少時,的數(shù)學期望值最大,最大值為多少

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于在某個區(qū)間上有意義的函數(shù)，如果存在一次函數(shù)使得對于任意的，有恒成立，則稱函數(shù)是函數(shù)的一個弱漸近函數(shù).

（1）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個弱漸近函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的弱漸近函數(shù)；

（3）試問：函數(shù)與函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間上是否存在相同的弱漸近函數(shù)？如果存在，請求出對應(yīng)的弱漸近函數(shù)應(yīng)滿足的條件；如不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.

（1）若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；

（2）若，，當變化時，求證：與的“平衡”數(shù)對相同；

（3）若，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.當時，求的取值范圍.

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