（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個(gè)頂點(diǎn).

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G，F，H三點(diǎn)共線；

（Ⅱ）當(dāng)直線FH與OB平行時(shí)，求頂點(diǎn)C的軌跡.

（21）本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由△OBC三頂點(diǎn)坐標(biāo)O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心G（，），外心F（，），垂心H（b，）

當(dāng)b=時(shí)，G、F、H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，故三點(diǎn)共線；

 

當(dāng)b≠時(shí)，設(shè)G、H所在直線的斜率為kGH，F、G所在直線的斜率為kFG.

 

因?yàn)?I>kGH=

 

kFG=

 

所以kGH=kFG，G、F、H三點(diǎn)共線

 

綜上可得，G、F、H三點(diǎn)共線.

 

（Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH==0，得3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠）,

 

配方得3（b－）2+c2=,

即=1.

 

即=1（x≠，y≠0）

因此，頂點(diǎn)C的軌跡是中心在（，0），長半軸長為，短半軸長為，且短軸在x軸上的橢圓，

除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四點(diǎn).


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1）動(dòng)點(diǎn)M滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則
OM
•
OC
的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•包頭一模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為 
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，?為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線C1上的點(diǎn)M（1，
3
2
）對應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
，曲線C2過點(diǎn)D（1，
π
3
）．
（Ⅰ）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（ρ 1，θ），B（ρ 2，θ+
π
2
） 在曲線C1上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個(gè)頂點(diǎn).

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G，F，H三點(diǎn)共線；

（Ⅱ）當(dāng)直線FH與OB平行時(shí)，求頂點(diǎn)C的軌跡.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（21）

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線l過點(diǎn)P(0，2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程.

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