Question

【題目】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足， ．

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ；

（2）證明： ；

（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由于是隔項(xiàng)，所以先由求出與之間關(guān)系，并在利用歸納假設(shè)時(shí)，注意對稱性，兩個(gè)式子同時(shí)運(yùn)用： ，（2）奇數(shù)項(xiàng)隔項(xiàng)遞減，且最大值為，所以研究偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)性：隔項(xiàng)遞增，且最小值為，（同（1）的方法給予證明），最后需證明，根據(jù)歸納可借助第三量，作差給予證明；（3）先探求數(shù)列遞推關(guān)系： ，再利用等比數(shù)列求和公式得.

試題解析：（1）由題知， ，

①當(dāng)時(shí)， ， ，

， 成立；

②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，

因?yàn)?/span>

所以

即時(shí)也成立，

由①②可知對于，都有成立.

（2）由（1）知， ，

所以，

同理由數(shù)學(xué)歸納法可證，

.

猜測： ，下證這個(gè)結(jié)論.

因?yàn)?/span>，

所以與異號(hào).注意到，知， ，

即.

所以有，

從而可知.

（3）

所以

所以