Question

【題目】設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間（無需使用定義嚴格證明，但必須有一定的推理過程）；
（3）當a＞2時，求函數(shù)g（x）=f（x）+|x|在R上的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（0）=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a，因為f（0）≤1，所以|a|+a≤1，

當a≤0時，0≤1，顯然成立；當a＞0，則有2a≤1，所以 ．所以 ．

綜上所述，a的取值范圍是

（2）解： ，

對于y=x2﹣（2a﹣1）x，其對稱軸為 ，開口向上，

所以f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；

對于y=x2﹣（2a+1）x，其對稱軸為 ，開口向上，

所以f（x）在（﹣∞，a）上單調(diào)遞減．

綜上所述，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，a）上單調(diào)遞減

（3）解：g（x）= ．

∵y1=x2+（2﹣2a）x的對稱軸為x=a﹣1，y2=x2﹣2ax+2a的對稱軸為x=a，y3=x2﹣（2a+2）x+2a的對稱軸為x=a+1，

∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．

∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，

∵a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g（a）＜g（2）=0．

∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一個零點．

綜上所述，當a＞2時，g（x）=f（x）+|x|有兩個零點

【解析】（1）根據(jù)f（0）≤1列不等式，對a進行討論解出a的范圍；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向判斷單調(diào)區(qū)間；（3）寫出g（x）的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)零點的存在性定理判斷．