Question

（本小題滿分12分）

設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)，且有，

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k和p，使得成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）   （）

（2）

【解析】（I）由，可建立關(guān)于a,b，m,n

的方程，從而求出f(x),g(x)的解析式.

（2）假設(shè)存在，令f(x)=g(x)=kx+p,即，然后可以構(gòu)造（），證明h(x)與x軸的正半軸有交點(diǎn)即可.然后再根據(jù)圖像確定直線方程y=kx+p應(yīng)滿足什么條件.

（Ⅰ），，

，，即，

．                                                     （2分）

，．， ，

解得，（）．                （4分）

（Ⅱ）令，可得（）．

（法一）， ，

，，

，，，

即與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為，

在點(diǎn)處的切線為．                         （8分）

（法二）設(shè)（），

（），

令，解得，

且時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，．

所以，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為．

在點(diǎn)處的切線為．                         （8分）

下面證明．

設(shè)（），

（法一）

，，即．        （12分）

（法二），令，解得．

且時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，，即．       （12分）